CURIOSIDADES MATEMÁTICAS

1 - Multiplicação pelo método Gelosia. Foi inventado pelo matemático italiano Lucas Pacioli 91445-15l4). Como por exemplo, vamos multiplicar 14 vezes 185, isto é, um número de dois algarismos por um de três.

Começamos desenhando um retângulo 2 x 3. Escrevemos os números e riscamos as diagonais. Começamos as multiplicações:
Por último achamos as somas diagonais.

2- Multiplicação Egípcia:
É feita só dobrando os números, que é o que os egípcios sabiam fazer. Por exemplo: 22 x 35.

1 2 4 8 16
35 70 140 280 560

Como 22= 16 + 4+ 2, então, 22 x 25 = 560 + 140 + 70= 770.

ESTÁGIOS NO DESENVOLVIMENTO LÓGICO

Jean Piaget (1896-1980), psicólogo suiço mundialmente famoso por sus estudos na área da Psicogenética, realizou experiências que evidenciaram quatro estágios no desenvolvimento lógico:

Estágio sensório-motor: Vai desde o nascimento até cerca de 24 meses. Nesse período, a criança passa de atividades puramente reflexas à formação dos primeiros hábitos, depois à coordenação entre visão e preensão (olhos e mãos), à procura de objetos escondidos, à prática de atos intencionais, à complexificação e diferenciação de esquemas de ações e à resolução de problemas por compreensão.

Estágio pré- operatório: Vai dos 2 anos, aproximadamente, até cerca de 7 anos. Essa fase tem início com o aparecimento da linguagem, que é um função simbólica. Começa a curiosidade (por quê?, como?, que é isto?), aparece o pensamento intuitivo.

Estágio das operações-concretas:Vai dos 7 aos 12 anos, aproximadamente. Nesta etapa do desenvolvimento, a criança ainda está totalmente ligada a objetos reais, concretos, mas já é capaz de passar da ação à operação, que é uma ação interiorizada. É também nesse estágio que começa a capacidade de classificar e de fazer transformações reversíveis, isto é, que podem ser invertidas, voltando à origem, que podem ser desmontadas. Começam a se estabelecer algumas noções de conservação.

Estágio das operações formais: Vai dos 11 aos 12 anos até maios ou menos os 15. É a fase em que aparece o raciocínio lógico: a criança já é capaz de pensar usando abstrações.

Cada estágio serve de base para o estágio seguinte; porém o desenvolvimento não é linear nem apenas quantitativo. Há rupturas no modo de pensar, há mudanças de qualidade provocadas pelo desenvolvimento quantitativo de atividades. Por isso, as mensagens são interpretadas de modos diferentes em cada etapa de desenvolvimento da criança. Isso é fundamental em educação. É improdutivo, e até prejudicial, tentar certas atividades com alunos que ainda não estão no estágio de assimilá-las. Assim, um aluno pode não apresentar bom resultado num determinado assunto e de nada adiantará fazer recuparação. É necessária uma correspondência entre o desenvolvimento psicogenético e as atividades propostas na escola, lembrando sempre que o pensamento cresce a partir de ações, ou seja, vai do concreto para o abstrato, da manipulação para a representação, e desta para a simbolização.

SERÁ QUE SEMPRE FOI ASSIM?

Os antigos egípcios usavam como unidade padrão de medida de comprimento o cúbito ou côvado, que é a distância do cotovelo à ponta do dedo médio.
O valor do cúbito egípcio era de aproximadamente 52,4 cm.
Porém, essas unidades de medida causavam confusão, pois as pessoas não eram todas do mesmo tamanho.
Antigamente o homem tomava medidas do próprio corpo para servirem como parâmetro das medidas de comprimento: o palmo, a braça.
Ainda hoje, na Inglaterra, são usadas unidades de medida de comprimento que têm como referencial padrão o corpo humeno: um pé, que equivale hoje a 30,48 cm; uma jarda, que equivale hoje a 91,44 cm; uma polegada, que equivale hoje a 2,54 cm.

Eratóstenes, aquele do Crivo dos Números Primos, ficou famoso quando mediu o comprimento da circunferência da Terra, usando muita criatividade e duas cidades: Alexandria e Assuan.
A unidade usada para medir garndes distâncias era o stadium, que equivale hoje a aproximadamente 185m.
Tales media a altura das pirâmides pela sombra, comparando com a sombra de um outro objeto, o que originou o Teorema de Tales.

Fonte: Coleção BIGMAT. Roberto Matsubara e Ariovaldo Antônio Zaniratto.

MEDIDAS

"As abelhas... em virtude de uma certa intuição geométrica... sabem que o hexágono é maior que o quadrado e o triângulo e conterá mais mel com o mesmo gasto de material".
(Papus de Alexandria).

Papus provavelmente viveu e ensinou em Alexandria entre o final do século III e a primeira metade do século IV, conforme se deduz de comentário seu sobre Almagesto, em que cita como episódio recente um eclipse do Sol, ocorido no ano 320. Dentre suas obras, uma delas ter preciosas informações históricas sobre Matemática grega, já conhecida mediante novas demosntrações.
A Papus se deve também o conceito de foco e diretriz de uma cônica.

GEOMETRIA

A CRIANÇA E O ESPAÇO TRIDIMENSIONAL

A geometria é provavelmente um dos temas mais descuidados dentre aqueles que compõem a programação de Matemática no 1º grau. Quando conteúdos de natureza geométrica são incluídos nas atividades de classe, limitam-se quase que exclusivamente a nomear algumas figuras em geral planas (isto é um triângulo, isto é um quadrado, etc.), a pintar de uma cor curvas abertas e, de outra cor, curvas fechadas, a resolver problemas onde é necessário calcular a área de uma superfície, através da aplicação de uma fórmula.

No entanto, a Geometria é a exploração do espaço. E o espaço não é alguma coisa que pode ser acahtada, comprimida, por um lápis, numa folha de papel. Daí, um procedimento metodológico, já razoavelmente difundido, é o de se iniciar o estudo da Geometria pela exploração de conceitos no espaço tridimensional.

Em seu livro "Exploração do Espaço", Dienes e Golding observam que "as primeiras noções de Geometria não têm nada a ver com a medida; uma criança pequena preocupa-se muito pouco com a distância exata dos objetos, ou com seus movimentos, ou com o ângulo sob o qual as coisas são vistas". E continuam: "Tudo isso ela nota de alguma maneira, implicitamente. O que a interessa especialmente é procurar as coisa - deslocar-se no espaço para fazer aquilo que deseja. O que importa é que, se há certas coisas, por exemplo, bombons em uma caixa, precisa abrir esta caixa pata poder tirá-los. É portanto uma descoberta importante para ela que haja caixas abertas e caixas fchadas. As portas às vezes estão abertas, às vezes fechadas, e ela dá-se conta de que não pode entrar nem sair a não ser por uma porta - ou janela - aberta. Por isso, a idéia de "abertura", de "passagem", inclui-se entre as que lhe importam."

Os objetos que povoam esse espaço tridimensional (caixas, lápis, estojos, malas, bolas, copos, bombons, etc.) têm semelhanças e diferenças não apenas quanto à cor, ou ao material de que são feitos, mas também quanto à Forma; e este é um atributo que interessa à Geomatria. Por que não explorá-los com a criança? Isso pode ser feito através de diversas atividades.

Fonte: Coleção Primeiros Passos em Matemática.

O QUE PODEM E O QUE NÃO PODEM FAZER AS MÁQUINAS

Quem fala em Máquina Pensante ou não sabe o que é pensar ou não sabe o que é uma máquina. Uma máquina é um instrumento operado pelo homem. Se estiver em perfeita ordem, ela cumprirá eficientemente as instruções recebidas - com tanta efeciência quanto a do operador que a dirige. Ouvimos sempre: "As máquinas não se enganam". É claro que não; elas não fazem nada.

Seria ridículo negar o fantástico progresso atingido pelas máquinas e especialmente pelas máquinas eletrônicas, nos últimos anos.

É bem possível que a eletrônica venha a transformar radicalmente a nossa vida (já transformou, pois passamos mais tempo em frente ao computador do que falando com os familiares e amigos). Os motores de explosão também a alteraram. Só que não cometemos o erro de olhá-los sob uma visão antropomórfica. O "cérebro" de um computador moderno (dificilmente poderemos escapar destas falsas analogias) é um sistema tremendamente complicado, que pode chegar a ocupar uma sala inteira. Temos, dentro do crânio, em duas conchas de matéria, um sistema infinitamente mais complicado - um sistema não apenas mais complicado como ainda capaz de realizações que se colocam não só fora das possibilidades de um computador como além de qualquer coisa que possamos imaginá-lo capaz de fazer no mais remoto futuro.

Existe apenas um tipo de Máquina Pensante: Você.

(Charles Solomon)

A MATEMÁTICA DA BELEZA NA ANTUREZA E NA ARTE

No século XIII, Tomás de Aquino formulou essa verdade fundamental da estética: "Os sentidos se deleitam com coisas devidamente proporcionadas." Estava traduzindo a relação direta e muitas vezes mensurável que existe entre a beleza e a Matemática, relação que se aplica tanto ao belo da Natureza como à arte do homem. Aparentemente, nada há na Natureza suficientemente pequeno ou insignificante para não merecer uma agradável simetria: a beleza infinda dos cristais hexagonais dos flocos de neve, a encantadora espiral geométrica dos caramujos, os cubos perfeitos de cristais minerais. Qunato ao homem - notável exemplo de simetria - parece reagir instintiva e positivamente às formas que seguem regras geométricas rígidas, tanto no que vê ao seu redor como em sua própria criação, arte ou arquitetura.

!Biblioteca Científica LIFE)

Classificação e Seriação

Jean Piaget (1896-1980), psicólogo suíço mundialmente famoso por seus estudos na área da Psicogenética, realizou experiências que evidenciaram quatro estágios no desenvolvimento lógico: Estágio sensório-motor, Estágio pré-operatório, Estágio das operações concretas e Estágio das operações formais.

Cada estágio serve de base para o estágio seguinte; porém o desenvolvimento não é linear nem apenas quantitativo. Há rupturas no modo de pensar, há mudanças de qualidade provocadas pelo desenvolvimento quantitativo de atividades. Por isso, as mensagens são interpretadas de modos diferentes em cada etapa de desenvolvimento da criança. Isto é fundamental em educação. É improdutivo, e até prejudicial, tentar certas atividades com alunos que ainda não estão no estágio de assimilá-las. Assim, um aluno pode não apresentar bom resultado num determinado assunto e de nada adiantará fazer recuperação. É necessária uma correspondência entre o desenvolvimento psicogenético e as atividades propostas na escola, lembrando sempre que o pensamento cresce a partir de ações, ou seja, vai do concreto para o abstrato, da manipulação para a representação, e desta para a simbolização.

Algumas experiências de avaliação do desenvolvimento psicogenético são particulatmente importantes na Matemática. CLASSIFICAÇÃO E SERIAÇÃO são etapas fundamentais no desenvolvimento da criança.

As atividades de seriação são importantes para a construção de operações lógicas fundamentais, eal se diferencia da classificação, pois trabalha mais com as diferenças entre os elementos das coleções, estabelecendo entre eles relações que possam ser quantificadas.